Matematika je lahko kreativna. Je povsod. Je kot prst, na kateri rastejo druge vede, pravi Andrej Bauer, profesor računalniške matematike na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Za članek Pet korakov v sprejemanju konstruktivne matematike je prejel prestižno nagrado Ameriškega matematičnega združenja (AMS) Levija L. Contanta za leto 2022. Raziskuje osnove matematike in logike, konstruktivno in izračunljivo matematiko, homotopsko teorijo tipov, matematične osnove programskih jezikov in eksaktno znanstveno računanje.

Kaj pravzaprav je konstruktivna matematika?

Pred dobrimi sto leti so se začeli resno spraševati o osnovnih pravilih sklepanja. Znana so bila že od Aristotela, a zaradi njegovega izjemnega vpliva se dolgo ni premaknilo nič. V začetku 20. stoletja pa se je to začelo spreminjati. Največ dilem je bilo glede zakona izključene tretje možnosti, ki trdi, da vsaka izjava lahko drži ali pa ne drži. Oblikovali sta se dve struji: ena je trdila, da tega zakona ne moremo kar tako sprejeti, druga pa, da ga lahko. Prevladala je druga, to je klasična matematika, prva pa je torej konstruktivna matematika. Predstavnik konstruktivne matematike je bil v tistem času Nizozemec L. E. J. Brouwer, klasične pa Nemec David Hilbert.

Zakaj bi se še ukvarjali s konstruktivno matematiko, ni bilo povsem jasno. Ker je odvzeto eno pravilo sklepanja, je namreč bolj omejujoča. Zato so se z njo ukvarjali predvsem na filozofski ravni, nato pa se je v 60. in 70. letih pokazalo, da je pomembna za računalništvo. Vsa pravila sklepanja je mogoče udejanjiti kot računalniški korak, razen zakona izključene tretje možnosti, ki ga konstruktivna matematika ne sprejema. S tem se je vzpostavil dober odnos med računalništvom in konstruktivno matematiko, ki je v zadnjem času tako dobila nov zalet.

Razkol med klasično in konstruktivno matematiko ni zelo izrazit. Nista si čisto različni, še več, zelo sta si podobni. Kar precej znanja je potrebnega, da opazite razlike.

Lahko navedete kakšen primer?

Predstavljajte si, da imate program, ki nadzoruje ventil. Če je tlak večji od enega bara, ga mora nadzorni program odpreti, če je manjši, zapreti. Kaj pa, če je točno en bar? Inženirji vam bodo povedali, da v praksi ne bo noben ventil deloval povsem idealno, zato uporabijo druge mehanizme, da zadeve delujejo. Zakaj bi torej imeli pravila logike, ki dovoljujejo idealne odločitve, ki jih v realnem svetu ni? To je ena izmed kritik, kaj je narobe z zakonom izključene tretje možnosti. Ta zakon namreč predvideva odločitve, za katere morate imeti dostop do neskončne količine informacij. To seveda ni realistično, v realnem svetu se vedno odločamo na podlagi neke končne količine pridobljenih informacij.

»Imeti rad je pogoj, iz katerega izvira vse«

Kakšne so torej aplikacije te matematike?

Naj omenim to v računalništvu, ki tudi vodi razvoj. Ideja je naslednja: razvoj programske opreme je drag postopek. Kar je tudi zelo drago, je odpravljanje napak v programski opremi. Tudi te napake so lahko zelo drage, denimo, da napaka povzroči nepravilnosti pri obsevanju pacienta ali delovanju podzemne železnice. Torej vprašanje je, kako narediti programsko opremo brez napak. S tem se ukvarja posebna veja računalništva, metod je veliko. Ena je, da matematično dokažete, da program deluje pravilno. Tu je lahko v veliko pomoč konstruktivna matematika, saj vsako njeno pravilo sklepanja pretvorite v računski korak. Ko dokažete neko želeno lastnost s konstruktivnim dokazom, je ta hkrati program, ker ste ga sestavili iz računskih korakov. Program je avtomatično pravilen. Težava pa je, da je postopek navadno zelo neučinkovit.

Zakaj?

No, tu potrebujemo nadaljnji razvoj. Za zdaj ne znamo bolje. Z obstoječimi orodji je loterija, včasih dela dobro, drugič prepočasi. Tu se ukvarjamo s Curry-Howardovo korespondenco, odnosom med računalniškimi programi in matematičnimi dokazi. Na tej točki je pomemben tudi konceptualni razmislek v dojemanju, kaj je računalništvo. Mi si predstavljamo, da imamo malo elektrike, pa silicijeve čipe in se računajo neki biti. Aktivno se razmišlja tudi o drugih načinih, eno je kvantno računalništvo, potem so tu biološki računalniki, kjer se računa s pomočjo organskih molekul. Zanimiv je primer shranjevanja podatkovnih baz: v kemijski raztopini lahko dosežete neznansko gostoto zapisa. Sprašujejo se tudi, kaj bi lahko dosegli, če bi računali v bližini črne luknje. Pojem računanja je precej širši od tehnologije, ki jo imamo.

»Matematika ni samo jezik, je način razmišljanja, ki vpliva na razmišljanje v drugih vedah, ko prodre vanje.« FOTO: Črt Piksi

Če se vrneva k nagrajenemu članku. Kako to, da ste ga razčlenili na pet stopenj žalovanja po Elisabeth Kübler-Ross: zanikan­je, jeza, pogajanje, depresija in sprejemanje?

Do končnega članka sem prišel postopoma. Začelo se je na forumu MathOverflow, namenjenem raziskovalni matematiki. Sem ter tja se pojavi kakšno vprašanje klasičnih matematikov, ki poskušajo razumeti konstruktivno matematiko. Pri odgovarjanju sem se zatekel k tej prispodobi, kako bi jo lahko dojemali in sprejemali. Bralci so ta takrat precej kratki odgovor dobro sprejeli. Idejo sem naprej razvil na predavanju na Inštitutu za napredne študije na Princetonu.

Matematika, tako kot vsaka znanstvena veda, ima to lastnost, da je zelo razraščena. Kot orjaško drevo je in mi čepimo na vejicah. Če ti nekdo z druge veje začne razlagati, kaj dela, ga je pogosto težko razumeti oziroma bi potreboval nekaj let učenja, da bi povsem razumel. Vedel sem, da bom predaval raznoliki skupini matematikov, zato sem moral predavanje zastaviti na matematično poljuden način. K meni je nato pristopil Mark Goresky, ki je v uredniškem odboru Bulletin of the AMS, in mi predlagal, da povedano še spišem v članku. Zanj sem se res zelo potrudil, odstavke sem prepisoval tudi po večkrat, urednik me je vseskozi malo priganjal.

Ko matematikov več ne bo

Trud je bil torej poplačan, čestitam za nagrado. Kaj ta pomeni za slovensko matematiko in seveda za vas osebno?

Slovenski matematiki so dobili že več primerljivih nagrad. V mojem primeru me je Ameriško združenje nagradilo za ekspozicijski članek, ki naslavlja širšo matematično skupnost. Primerljivi nagradi sta leta 2019 dobila kolega s fakultete Franc Forstnerič in Matjaž Konvalinka. Vsaka takšna nagrada nas postavlja na znanstveni zemljevid in Slovenija vsekakor na njem ni nevidna. Letos bi se na Obali, če ne bi bilo pandemije, zbralo več kot tisoč matematikov, saj smo organizirali 8. evropski matematični kongres, glavna organizatorica je bila Univerza na Primorskem.

Sam sem seveda zadovoljen, če opazijo moje delo. Je pa ta nagrada pomembna tudi za konstruktivno matematiko, da se govori o njej. Z njo se ukvarja majhna skupina ljudi, nekako se skrivamo po kotih, denimo v oddelkih za teoretično računalništvo, tudi sam z eno nogo stojim v računalništvu.

Zdi se mi tudi pomembno, da se pokaže, da med nami in klasičnimi matematiki ni nobenega konflikta, zgodovinsko gledano se je namreč med Hilbertom in Brouwerjem zgodil antagonizem. Če se je morda v preteklosti dojemalo kot filozofsko vprašanje, ki ima lahko samo en pravi odgovor, lahko danes pokažemo, da je mogočih načinov, kako delati matematiko, veliko.

Matematika slovi kot dejavnost, kjer je resnica lahko zares objektivna. Dva plus dva je štiri. O tem ni dvoma, ker je dokazljivo. Imamo pojem matematičnega dokaza, ki je objektiven, preverljiv z računalnikom, torej je to mehansko preverljiva resnica. Kaj je lahko bolj objektivnega?

Vendar je pojem matematičnega dokaza odvisen od tega, kako na začetku postavite temelje in pravila sklepanja. Kaj se zgodi z objektivnostjo, če je mogočih več sistemov sklepanja? Treba se je tudi vprašati, od kod izhajajo pravila sklepanja. Tu se že spuščamo v filozofske vode. Eden izmed možnih odgovorov je – o tem pišem v zadnji fazi sprejemanja –, da pravzaprav ni bistvena delitev na dve struji. Precej bolj relevant­no je spoznanje, da sta to samo dve majhni točki v ogromnem univerzumu mogočih matematik. To poskušam povedati kot sintezo.

V medijih se o matematiki govori bolj malo, več o fiziki, pa trenut­no kemiji, biologiji … Kakšen je položaj matematike kot znanosti?

Nekoč sem se pošalil, da je matematika teta iz ozadja. Dejstvo je, da je v naravoslovnih znanostih podlaga, prst, iz katere raste vse. Matematika ni samo jezik, je način razmišljanja, ki vpliva na razmišljanje v drugih vedah, ko prodre vanje. Dober primer so fiziki, pa računalničarji. Matematika prodira tudi v družboslovje. Kaj stoji za Facebookom, Googlom? Matematika. Kaj je za plastičnom stolom, na katerem sedite? Matematika. Narisal ga je arhitekt s programom za načrtovanje, v katerem je ogromno geometrije. Mislim, da ni veliko stvari v moderni družbi, pri katerih ne bi mogli pokazati, da je v ozadju matematika. Matematika je kraljica in sužnja drugih ved.

Koliko se matematika še lahko razvije?

Vse bolj se razvija, vse več je je. Včasih je bila pomembna predvsem za fiziko, pa potem za računalništvo, v zadnjih desetletjih še za kemijo, biologijo, družboslovje. Denimo, ko bodo fiziki odkrili novo fiziko, se bo verjetno pokazalo, da moramo naštudirati tudi novo matematiko. Takšen zunanji vpliv je pogost, konkretno pri fiziki ali računalništvu.

Verjamem, da se lahko ljudje sprašujejo, kaj je lahko novega v matematiki, kaj lahko raziskovalni matematik sploh dela. To bi lahko primerjal z abstraktno umetnostjo, ko se vprašaš, ali jo kdo razume. Matematiko lahko razumeš, ampak se je treba z njo (leta in leta) ukvarjati. Prav zato moramo mi poskrbeti, da jo predstavimo javnosti, da povemo, zakaj je pomembna, zakaj je kreativna, zakaj je lepa.

Sedem milijard kompleksnih ničel Littlewoodovih polinomov, ki imajo koeficiente –1 in 1, do stopnje 26, ali kako je lahko matematika lepa tudi nematematikom. FOTO: Andrej Bauer

Ko sva ravno pri lepem, lepe so nekatere slike, ki nastajajo pri vizualni matematiki in naključni umetnosti, kar lahko najdemo na vaši spletni strani (http://www.random-art.org/).

Da, te slike so moj najboljši poskus odgovora na omenjena vprašanja o kreativnosti in lepoti. Matematik sam po sebi ne čuti resne potrebe, da bi ustvaril takšno sliko, zanj je lepota že v abstrakt­nem. Vizualiziranje je zabavno, zanimivo, ni pa bistveno. Bistveni so izreki. A hkrati je poceni trik, da nekoga pritegneš, da bo morda za nekaj minut poslušal, vprašal. Tako se vzpostavi odnos.

Ko sem pregledovala te kroge, so me asociirali na znanstvenofantastični film Prihod (Arrival). Od tam naprej pa k pogosti ideji filmov, da je matematika univerzalni jezik.

Da, ideja, da bomo vesoljcem poslali prvih sto praštevil in bodo navdušeni. No, jaz sem precej pesimističen. Matematika je človeška aktivnost, vezana na našo kulturo, zgodovino. Zavedam se, da je zelo veliko svetov matematike, ampak mislim, da vesoljcem, ki bodo pristali, če bomo sploh vedeli, da so pristali, naša ne bo kaj prida pomenila.

Ob pandemiji smo postali pozorni na statistične podatke, grafe, verjetnosti, denimo, koliko je mož­nosti, da zbolimo. Vse to vidimo, vendar ne upoštevamo.

Za ta del pogovora bi potrebovala še vsaj enega psihologa. (nasmeh) Dejstvo je, da pri odločanju prevladujejo psihološki in družbeni dejavniki in ne racionalni razmislek. Če bi, potem bi bili zdaj vsi cepljeni. Če ostanem samo pri številkah: ljudje nimamo vgrajenega občutka za zelo majhna ali za zelo velika števila. Ne razumemo razlike med milijardo in bilijonom zvezd, enako je z majhnimi verjet­nostmi in redkimi dogodki.

Se matematik rodi ali se nato izoblikuje?

Oboje po malem. Mene je že zgodaj zagrabila matematika, številne moje kolege pa šele pozneje. Mislim, da je pri matematiki podobno kot pri umetnosti, predvsem zaradi kreativnosti in dejstva, da zahteva veliko truda, da jo usvojiš. To pomeni, da se bodo z njo ukvarjali res samo ljudje, ki jih vleče v to. Enako je z igranjem inštrumenta, otroka lahko silite, da bo igral violino, ampak mu s tem škodite. Pomembno je, da imajo mladi dostop, da na primeren način spoznavajo različne reči.

V prostem času se ukvarjate z borilno veščino, aikidom.

Že dobrih 25 let, začel sem v ZDA, zdaj treniram v klubu Shodokan Matjaža Dobravca. Najprej je seveda to telesna dejavnost. Brez dvoma drži: zdrav duh v zdravem telesu. Prepričan sem, da brez športne aktivnosti ne bi imel takšne mentalne kondicije. Poleg tega pa je to tudi moj osebni izhod iz zahodnejšega sveta v japonsko veščino, kulturo in navade. Vsekakor me aikido dopolnjuje.

Govorila sva predvsem o konstruktivni matematiki. S katerimi področji se še ukvarjate?

Zadnje čase predvsem s teorijo tipov. To je neke vrste nadgradnja ali alternativa logiki in teoriji množic, ki je našla uporabno vrednost v računalništvu. Primer: matematične članke pred objavami pregledajo drugi matematiki. Tako pridemo do prepričanja, da je članek pravilen, saj gre skozi zahteven postopek preverjanja, a to opravljajo ljudje in tako obstaja možnost človeške napake. Pravzaprav ne vemo, koliko je napak v objavljenih matematičnih člankih, saj je to težko preveriti. Pravilnost matematičnih konstrukcij in dokazov lahko sicer preverjamo z računalnikom, natančneje s programi, imenovanimi dokazovalni pomočniki.

Veliko matematikov, tudi jaz sem med njimi, meni, da je to prihodnost matematike: da bo računalnik dejanski pomočnik profesionalnemu matematiku. Tu ne gre za računanje s številkami, v raziskovalni matematiki potrebujemo programe in opremo, ki razume abstraktne koncepte. To se imenuje formalizacija matematike in na tem področju se zdaj dogajajo premiki, podlaga zanje pa je teorija tipov. Gre za načrtovanje orodij in tehnik, ki bodo v prihodnosti, ki upam, da jo bom doživel, pomenile, da bo računalnik boljši matematik kot človek.

Spomnimo se programa za šah, konec 90. let prejšnjega stoletja je poseben IBM-ov računalnik prvič premagal svetovnega prvaka v šahu, zdaj pa imamo na domačih računalnikih programe, ki brez težav premagajo v šahu vse ljudi na svetu. Kaj je to pomenilo za šah? Samo pozitivne reči.

Upam, da bom doživel dan, ko se bo nekaj podobnega zgodilo matematiki, ker bo to pomenilo, da bomo lahko delali zadeve, o katerih ne moremo niti sanjati. Za zdaj smo še vedno omejeni z oviro enega uma, torej s tem, koliko lahko dojame en matematik, kakšne abstrakcije je sposoben. Nakazuje se, da bi lahko postali kot nekakšen konglomerat, mravljišče ali pa kot Borgi iz Zvezdnih stez. Nekateri se takšne prihodnosti bojijo, morda upravičeno. Jaz bi jo najprej rad doživel, potem pa se bom odločil, ali se je bojim.